点与圆的位置关系（点和圆、直线和圆的位置关系如何计算）

各点到一定点距离相等的图形就是圆

点与圆：点在圆内，点在圆上，点在圆外

直线与圆：相交，相切，相离

圆与圆：内含，内切，相交，外切，外离

由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.

(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

直线与圆的位置关系的数量特征

1、迁移：点与圆的位置关系

(1)点P在⊙O内 dr.

2、归纳概括：

如果⊙O的半径为r ,圆心O到直线l的距离为d,那么

(1)直线l和⊙O相交 dr.

【直线与圆的位置关系】

1.直线与圆的位置关系：

1)相交：直线和圆有两个公共点时，这时直线也叫做圆的割线。(d

2)相切：直线和圆有唯一一个公共点时，这时直线也叫做圆的切线。(d=r)

3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。(d>r)

2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心。

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长;

切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

考点分析：切线的证明是中考的考点，辽宁中考中一般在20~24题的位置会有一道切线的证明题

3.证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

(1)圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直(比较常用)。

(2)圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。

方法：

(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

【三角形内切圆】

1.三角形内切圆：和三角形各边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。一个三角形有且只有一个内切圆。

2.三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

3.圆的外切三角形：这个三角形叫做圆的外切三角形。

4.三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形的三边距离相等。

5.三角形的内切圆的作法：

分析：假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如右上图).

(2)过I作ID⊥BC，垂足为D.

(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.

∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID=IM，又∵I在∠C的平分线CF上.∵ID=IN，∵ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的，所以I到△ABC三边的距离相等

【圆内接正多边形】

1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。

2.依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形.

3.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

4.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心都等于360°/n.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.